泰勒公式展开所涉及公式例如如何展开正弦余弦lnx等,我想要推导依据,

Question

泰勒公式展开所涉及公式例如如何展开正弦余弦lnx等,我想要推导依据,

Answer 1

设 f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+.+anx^n+.
令 x=0 得 f(0)=a0 ,
求导得 f '(x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+.
令 x=0 得 f '(0)=a1 ,
再求导得 f ''(x)=2a2+6a3x+12a4x^2+.
令 x=0 得 f ''(0)=2a2 ,因此 a2=f ''(0)/2 ,
一般地,可得 an=f(n)(0)/n!,
这样就把 f(x) 展开成关于 x 的多项式了.这就是泰勒公式.