求反正弦函数的麦克劳林展开式,

Question

求反正弦函数的麦克劳林展开式,

Answer 1

记f(x)=(1-x)^(-1/2)
f'(x)=1/2*(1-x)^(-3/2), f'(0)=1/2
f"(x)=1/2*3/2*(1-x)^(-5/2), f"(0)=1*3/2^2
f"'(x)=1/2*3/2*5/2*(1-x)^(-7/2), f"'(0)=1*3*5/2^3
.
f^n(0)=(2n-1)!/2^n, (2n-1)!=1*3*5*...*(2n-1)为奇数的乘积
f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!+...
=1+x/2+1*3x^2/(2!*2^2)+.+(2n-1)!*x^n/(n!*2^n)+...
则有：
求导：(arcsinx)' =(1-x^2)^(-1/2)=1+x^2/2+1*3x^4/(2!*2^2)+.+(2n-1)!*x^2n/(n!*2^n)+...
积分：arcsinx=x+1/6*x^3+3/40*x^5+.+(2n-1)!x^(2n+1)/[n!*2^n* (2n+1)]+...