已知直线l过（1,9）且在两轴上截距为正,求l在两轴上截距之和为正,求l在两轴上截距之和的最小值.

Question

已知直线l过（1,9）且在两轴上截距为正,求l在两轴上截距之和为正,求l在两轴上截距之和的最小值.

Answer 1

设A(x1,0)  B(0,y1),直线y=ax+b(a,b均不可能为零）

将（1,9）带入直线得:a+b=9   将A点B点分别带入直线得：y1=b    x1= --b/a

由题意得：x1+y1>0即：--b/a+b>0

    将b=9-a代入上式并解得：a<0或1<a<9

x1+y1=--b/a+b=(a-9)/a+9-a=10-(9/a+a)

第一种情况：当a<0时,x1+y1大于等于10加2倍根号下（-a)(-9/a)

    当且仅当a=-3时有最小值为：16

第二种情况：当1<a<9时,x1+y1=10-(9/a+a),求最小值即求9/a+a的最大值

       设z=a+9/a（1<a<9)   即只需求z的最大值

        求导得:z的导数等于1+（-9）/a2(1<a<9)

        所以z的导数恒小于0

        即Z是单调递减函数,在1<a<9的范围内没有最大值

         所以这种情况不成立

 综上所诉,当且仅当a=-3时,x1+y1有最小值为16