选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若{x|f（x）≥t2-t}∩{y|0≤y≤1}≠∅，求实数t的取值范围．

Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{y|0≤y≤1}≠∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3(x≤-(1)/(2))

3x-1(-(1)/(2)＜x＜2)

x+3(x≥2)

，
又f（x）≤2，
∴①

x≤-(1)/(2)

-x-3≤2

或②

-(1)/(2)＜x＜2

3x-1≤2

或③

x≥2

x+3≤2

，
解①得：-5≤x≤-(1)/(2)；
解②得：-(1)/(2)＜x≤1；
解③得：x∈∅；
综上所述，所求解集为x∈[-5，1]．
（2）依题意得f（x）≥t²-t在x∈[0，1]时有解⇔f（x）_max≥t²-t，
∵x∈[0，1]，f（x）=3x-1，f（x）_max=2，
则t²-t≤2，
解得-1≤t≤2．
∴实数t的取值范围是[-1，2]．