超越方程没有跟根式解的证明高次方程和超越方程为什么没有根式解?那它们有怎么样的解?要用到拟牛顿法?是怎样的?

Question

超越方程没有跟根式解的证明
高次方程和超越方程为什么没有根式解?
那它们有怎么样的解?
要用到拟牛顿法?是怎样的?

Answer 1

超越方程有很多种.具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程都是超越方程.
有的高次方程也有解,比如x^3-15x-4=0的根为
x1=4,x2=-2-sqrt(3),x3=-2-sqrt(3).方程有的解析解和非解析解；精确解和近似解；实数解和复数解等.
在找不到精确解时就用数值解法,有牛顿法,弦截法,欧拉法,龙格-库塔法等.牛顿法也称切线法.
对于方程f(x)=0.其牛顿法的迭代格式为：
x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)).
拟牛顿法估计(不太确定)就是将1/f'(x(n))换成另外一个因子.
可参看布罗依顿（Broyden）拟牛顿法.