一个多重相关的分式二次型极值问题求形如[TeX]{(alpha^TSigma{21})^2}/{alpha^TSigma{22}alpha}[/TeX],其中[TeX]alpha[/TeX]与[TeX]Sigma{21}[/TeX]为[TeX]nxx1[/TeX]向量,[TeX]Sigma{22}[/TeX]为[TeX]nxxn[/TeX]正定矩阵.答案为[

Question

一个多重相关的分式二次型极值问题
求形如[TeX]{(alpha^TSigma_{21})^2}/{alpha^TSigma_{22}alpha}[/TeX],其中[TeX]alpha[/TeX]与[TeX]Sigma_{21}[/TeX]为[TeX]nxx1[/TeX]向量,[TeX]Sigma_{22}[/TeX]为[TeX]nxxn[/TeX]正定矩阵.答案为[TeX]alpha=Sigma_{22}^{-1}Sigma_{21}[/TeX]时,有极大值[TeX]Sigma_{21}^TSigma_{22}^{-1}Sigma_{21}[/TeX],

Answer 1

设B是正定阵而且$B^2=\Sigma_22,\beta=B\alpha$,于是变成了${(\beta^T B^-1\Sigma_21)^2}/{|\beta|^2}$的极大值问题,即${(\beta^TB^-1\Sigma_21\Sigma_21^T B^-1\beta)}/{|\beta|^2}$所以取极值时$\beta$是矩阵$B^-1\Sigma_21\Sigma_21^TB^-1$的非零特征值.而由于$rank(\Sigma_21\Sigma_21^T)=1$,所以只有一个非零特征值.检验易知$\beta=B^-1\Sigma_21$是特征向量,对应特征值为$\Sigma_21^T\Sigma_22^-1\Sigma_21$由此得知在$\alpha=\Sigma_22^-1\Sigma_21$时,取到唯一极大值$\Sigma_21^T\Sigma_22^-1\Simga_21$ 查看原帖>>