若f″（x）不变号，且曲线y=f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x2+y2=2，则f（x）在区间（1，2）内（）A．有极值点，无零点B．无极值点，有零点C．有极值点，有零点D．无极值点，无零点

Question

若f″（x）不变号，且曲线y=f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x²+y²=2，则f（x）在区间（1，2）内（　　）

A．有极值点，无零点
B．无极值点，有零点
C．有极值点，有零点
D．无极值点，无零点

Answer 1

由题“曲线y=f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x²+y²=2”可知：y=f（x）和x²+y²=2在点（1，1）具有相同的切线，且y=f（x）和x²+y²=2在点（1，1）具有相同的曲率
∴y=f（x）和x²+y²=2在点（1，1）具有相同的一、二阶导数
而x²+y²=2在点（1，1）的一阶导数为y'（1）=-1，二阶导数为y''（1）=-2
∴f'（1）=-1，f''（1）=-2又f''（x）不变号
∴f''（x）＜0
∴f′（x）是单调递减的
而f'（1）=-1
∴当1＜x＜2，时，f'（x）≤f'（1）＜0
∴f（x）在（1，2）是单调递减的
∴f（x）在（1，2）无极值点
又由f''（x）＜0知，f（x）是凸函数
∴当1＜x＜2，时，(f(x)−f(1))/(x−1)＜f′(1)
∴f（x）＜f（1）+f'（1）（x-1）=2-x
∴f（2）＜0
而f（1）=1＞0
∴在（1，2）上，由零点定理知，f（x）必定存在零点
故选：B．