AC长为定值,D不属于面ABC,点M,N分别是三角形DAB和DBC的重心,证：无论B,D如何变换位置,MN长为定值.

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AC长为定值,D不属于面ABC,点M,N分别是三角形DAB和DBC的重心,证：无论B ,D如何变换位置,MN长为定值.

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答案和解析

取BD的中点为E
连结AE,CE
因为点M是三角形DAB的重心
而E为BD的中点
所以AE为三角形DAB的一条中线
所以重心M在中线AE上
EM/AE=1/3
同样,点N是三角形DBC的重心
而E为BD的中点
所以CE为三角形DBC的一条中线
所以重心N在中线CE上
EN/EC=1/3
连结MN
因为 EM/AE=EN/EC=1/3
所以三角形EMN相似于AEC
所以MN=1/3AC=定值

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