多项式a被(x+1),(x-1)除时,余式分别是-1,+1,求多项式a被(x+1)乘(x-1)除时的余式

Question

多项式a被(x+1),(x-1)除时,余式分别是-1,+1,求多项式a被(x+1)乘(x-1)除时的余式

Answer 1

解
可设多项式a=f(x).
由题设可得:
f(x)=P(x)(x+1)-1
f(x)=Q(x)(x-1)+1.(P(x),Q(x)均为关于x的多项式.)
由上式可知:f(-1)=-1,f(1)=1.
∴由1式,1=f(1)=2P(1)-1
∴P(1)=1
∴P(x)=M(x)(x-1)+1.(M(x)为关于x的多项式.)
∴f(x)=P(x)(x+1)-1=[M(x)(x-1)+1](x+1)-1=M(x)(x-1)(x+1)+x.
即f(x)=M(x)(x-1)(x+1)+x.
∴多项式f(x),即多项式a被(x-1)(x+1)除时的余式为x.