过坐标原点向圆(x-2)^2+y^2=1作两条切线,动点M在圆(x-2)^2+y^2=1上,求点M到两条切线距离的平方和的最大值和最小值

Question

过坐标原点向圆(x-2)^2+y^2=1作两条切线,动点M在圆(x-2)^2+y^2=1上,求点M到两条切线距离的平方和的最大值和最小值

Answer 1

设切线方程y=kx (k≠0)
kx-y=0
圆心坐标(2,0),半径r=1
圆心到直线距离：
d=|2k-0|/√[k²+(-1)²]=1
4k²/(k²+1)=1
3k²=1
k=√3/3或k=-√3/3
两切线方程分别为√3x-3y=0和√3x+3y=0
设点M坐标(2+cosa,sina)
距离平方和=|√3(2+cosa)-3sina|²/[(√3)²+(-3)²]+|√3(2+cosa)+3sina|²/[(√3)²+3²]
=[(√3cosa+2√3-3sina)²+(√3cosa+2√3+3sina)²]/12
=(3cos²a+12cosa+12+9sin²a)/6
=(12cosa+6sin²a+15)/6
=-(cosa -1)²+ 9/2
cosa=1时,距离平方和有最大值9/2
cosa=-1时,距离平方和有最小值1/2