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已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,过原点的直线l与椭圆交于A、B两点,若kAP与kBP均存在,试问:kAP与kBP的乘积是否为定值?若是,求出这个值.
题目详情
已知点P是椭圆
+
=1(a>b>0)上任意一点,过原点的直线l与椭圆交于A、B两点,若kAP与kBP均存在,试问:kAP与kBP的乘积是否为定值?若是,求出这个值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
▼优质解答
答案和解析
设A(x0,y0),B(-x0,-y0),P(m,n).
则
+
=1,
+
=1,
∴
=
.
∴kAP•kBP=
•
=
=-
.
因此kAP与kBP的乘积为定值-
.
则
| ||
a2 |
| ||
b2 |
m2 |
a2 |
n2 |
b2 |
∴
n2−
| ||
b2 |
| ||
a2 |
∴kAP•kBP=
n−y0 |
m−x0 |
n+y0 |
m+x0 |
n2−
| ||
m2−
|
b2 |
a2 |
因此kAP与kBP的乘积为定值-
b2 |
a2 |
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