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已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,过原点的直线l与椭圆交于A、B两点,若kAP与kBP均存在,试问:kAP与kBP的乘积是否为定值?若是,求出这个值.

题目详情
已知点P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上任意一点,过原点的直线l与椭圆交于A、B两点,若kAP与kBP均存在,试问:kAP与kBP的乘积是否为定值?若是,求出这个值.
▼优质解答
答案和解析
设A(x0,y0),B(-x0,-y0),P(m,n).
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1,
m2
a2
+
n2
b2
=1,
n2−
y
2
0
b2
x
2
0
−m2
a2

∴kAP•kBP=
n−y0
m−x0
n+y0
m+x0
=
n2−
y
2
0
m2−
x
2
0
=-
b2
a2

因此kAP与kBP的乘积为定值-
b2
a2
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