如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位

Question

如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
解答下列问题：

（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 ___ ；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是 ___ ；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
（4）求OA的长．
[（2），（3），（4）中的结果保留π]．

Answer 1

（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2，
∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
故答案为：2，相切；
（2）位置Ⅰ中

ON

的长与数轴上线段ON相等，
∵

ON

的长为(90π•2)/(180)=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．
（3）点N所经过路径长为(90π•4)/(180)=2π，
S_半圆=(180π•22)/(360)=2π，S_扇形=(90π•42)/(360)=4π，
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=(NH)/(PN)=(1)/(2)，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
从而

MA

的长为(60π•2)/(180)=(2π)/(3)，于是OA的长为π+4+(2)/(3)π=(5)/(3)π+4．