已知指数函数y=g（x）的图象过点（2，4），定义域为R，f（x）=-g(x)+n2g(x)+m是奇函数．（1）试确定函数y=g（x）的解析式；（2）求实数m，n的值；（3）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义

Question

已知指数函数y=g（x）的图象过点（2，4），定义域为R，f（x）=(-g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数．
（1）试确定函数y=g（x）的解析式；
（2）求实数m，n的值；
（3）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

（1）由题意，已知g（x）是指数函数，设g（x）=a^x（a>0且a≠1）其图象过点（2，4），
∴a²=4
∵a>0且a≠1．
∴a=2
即g（x）=2^x．
故得g（x）的解析式为g（x）=2^x．
（2）由（1）可知f(x)=(-2x+m)/(2x+1+m)
∵f（x）是R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴(-1+n)/(4+m)=0∴n=1
又由f（1）=-f（-1）可知(-2+1)/(4+m)=-(-(1)/(2)+1)/(1+m)∴m=2
∴实数m，n的值分别为m=2，n=1．
（3）由（2）可知f(x)=(1-2x)/(2+2x+1)=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)．
根据指数函数的性质可知：y=2^x+1是增函数，
∴y=(1)/(2x+1)是减函数，
故f(x)=(1-2x)/(2+2x+1)=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)是减函数，
证明：设x₁<x₂，
则f(x1)-f(x2)=(1)/(2x1-1)-(1)/(2x2-1)
∵x₁<x₂，
∴2x2-1>2x1-1，
∴(1)/(2x1-1)>(1)/(2x2-1)
故f（x₁）>f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是单调减函数．