2009x3=2010y3=2011z3,xyz>0,3次开方下2009x2+2010y2+2011z2=2009三次开方=2010三次开方+2011三次开方,求1/x+1/y+1/z=?

Question

2009x3 =2010y3=2011z3,xyz>0,3次开方下2009x2+2010y2+2011z2=2009三次开方=2010三次开方+
2011三次开方,求1/x+1/y+1/z=?

Answer 1

设2009x的三次方=2010y的三次方=2011z的三次方=k^3,
则1995x^2=k^3/x,1996y^2=k^3/y,1997z^2=k^3/z
【2009x的平方+2010y的二次方+2011z的二次方】的立方根=3次根号（k^3/x+k^3/y+k^3/z)=k*3次根号(1/x+1/y+1/z)
2009的立方根+2010的立方根+2011的立方根=3次根号（k^3/x^3)+3次根号（k^3/y^3)+3次根号（k^3/z^3)=k(1/x+1/y+1/z)
则3次根号（1/x+1/y+1/z）=1/x+1/y+1/z
又xyz>0
故1/x+1/y+1/z=1