求证,如果三个正数的乘积等于1,而且这些数的和大于这些数倒数的和,那么这三个数中至少有一个大于1

Question

求证,如果三个正数的乘积等于1,而且这些数的和大于这些数倒数的和,那么这三个数中至少有一个大于1

Answer 1

a+b+c>1/a+1/b+1/c=ab+bc+ca
a+b+c-(ab+bc+ca)>0
abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1>0
(a-1)(b-1)(c-1)>0
其中(a-1)(b-1)(c-1)至少两个同号
但abc=1 ,因此必有两个负号,另一个为正.
所以a,b,c必有一个且仅有一个大于1.·