如图，已知线段AB=4，O为AB的中点，P是平面内的-个动点，在运动过程中保持OP=1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的取值范围是．

Question

如图，已知线段AB=4，O为AB的中点，P是平面内的-个动点，在运动过程中保持OP=1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的取值范围是___．

Answer 1

如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB=4，O为AB的中点，
∴A（-2，0），B（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x²+y²=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋转的性质可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中

∠ECP=∠FPB

∠PEC=∠PFB

PC=PB

，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，FB=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O为AB的中点，
∴AC=√((x+y+2)2+(y+2-x)2)=√(2x2+2y2+8y+8)．
∵x²+y²=1，
∴AC=√(10-8y)．
∵-1≤y≤1，
∴√(2)≤AC≤3√(2)．
故答案为：√(2)≤AC≤3√(2)．