一道关于圆和球的难题一:1.N个面积为S的圆所组成的面积的最小值怎么用N和S表示?2.假设一个大圆里面最多能装N个小圆,请问N怎样用大圆的面积:A和小圆的面积:B来表示?二:若把上述两个问题中

Question

一道关于圆和球的难题
一:1.N个面积为S的圆所组成的面积的最小值怎么用N和S表示?2.假设一个大圆里面最多能装N个小圆,请问N怎样用大圆的面积:A和小圆的面积:B来表示?
二:若把上述两个问题中的圆改成球,面积改成体积,又怎么办?
面积和体积包括间隙,且小圆当然不能重叠

Answer 1

【一.1】
首先,要计算每三个小球紧挨着,中间的空隙面积.
设小球的半径为r.
三个小球组成的等边三角形面积为：
1/2*2r*√3r＝√3r*r＝√3/π*S
三个小球中间的空隙面积为：
√3/π*S－3*1/6*S＝(√3/π－0.5)*S
N=3时,共有1个空隙；
N=4时,共有2个空隙；
N=5时,共有3个空隙；
.
N=N时,共有(N-2)个空隙；
总面积＝N*S-(N-2)*(√3/π－0.5)*S
【一.2】
最多能装N个小圆,说明至少大圆与小圆相切,又分两种情况：(1)某个小圆的圆心与大圆同心（就像7个小圆组成一个梅花形状的那样）,这是N能被6n+1整除；（2）三个小圆组成的空隙中心为大圆的圆心,N能被3n整除.我暂时不会算,考虑考虑.