几个半径是一米的圆可以填满半径是二的圆至少用几个半径是1米的圆才可以填满半径是2米的圆不可以切割,可以重叠,可以超过大圆的边界,只要完全填满就行5个？为什么

Question

几个半径是一米的圆可以填满半径是二的圆
至少用几个半径是1米的圆才可以填满半径是2米的圆
不可以切割,可以重叠,可以超过大圆的边界,只要完全填满就行
5个？为什么

Answer 1

几个半径是一米的圆可以填满半径是二的圆
试解
1.首先做大圆的外接正方形,如果这个正方形被填满,大圆也必定被填满.
2.做小圆的内接正方形,小圆必定能填满这个正方形.
3.大圆的外接正方形边长是4,小圆的内接正方形边长是√2.
4接着计算大圆的外接正方形可以被几个个小正方形填满,似乎是9个.
不过9个不是最少的图形.
正多边形镶嵌
按照上边的思路,很容易想到,如果继续细化圆的内接多边形,可能会得到更好的结果.
思路1:作小圆的内接正六边形,半径为1的正六边形的边长也是1. 7个这个的六边形的镶嵌图样里面可以切割出一个半径为2的圆.
目前得到的最好结果是7个
思路2:做大圆的外接正六边形,这个六边形由6个边长为4/3 √3的正三角形构成. 经计算,小圆不可以覆盖这样的正三角形,甚至不能覆盖角度为120°,半径为2的扇形(大圆的六分之一).
其他解法
以上取得的最好结果是7. 在试解中提供的思路无法再继续下去, 因为平面图形的正多边形镶嵌只有3种, 即三角形, 四边形和六边形,
接下来设想能否使用不对称的, 多种多边形的镶嵌来构造更有效率的解法.
大圆的面积是小圆的四倍, 所以小于4的解都是不可能的, 当然4也不是可能的解,因为圆的利用率不会达到100%, 在6个圆的解当中, 圆的平均利用率要达到67%, 5个圆的解当中, 圆的平均利用率更是要达到80%.
圆的内接正方形占圆的面积的63%, 三角形是34%, 六边形是68%, 由此可以看到, 所有用正方形和三角形构造的解法无法达到6, 根据这一点考察所有的8种半镶嵌图 (用不同的正多边形来铺满整个平面, 但每一个交叉点周围的正多边形种类和顺序都相同, 叫做半正镶嵌图), 可以逐个将之枪毙了. (那些含有六边形和八边形的镶嵌图因为各图形面积差别太大,效率更低)
End