7.计算旋转体体积时,参数方程{x=φ(t),y=ψ(t)中,为何y(x)=ψ(t)8.x^2+y^2=a^2,以下是否正确,为什么:∫√(a^2-x^2)dx=a^2∫cos^2(θ)dθ,

Question

7.计算旋转体体积时,参数方程{x=φ(t),y=ψ(t)中,为
何y(x)=ψ(t)
8.x^2+y^2=a^2,以下是否正确,为什么:∫√(a^2-
x^2)dx=a^2∫cos^2(θ)dθ,

Answer 1

如图,取AB的中点O,连结CO,设AB=x,
则AO=x/2,AC=(2L-AO)/2=(2L-x)/2=L-x/2,
CO=√(AC^2-AO^2)=√[(L-x/2)^2-(x/2)^2]=√(L^2-xL),
V[旋转体]=2V[圆锥]=2·1/3·π·CO^2·AO=2π/3·[√(L^2-xL)]^2·x/2
=π/3·L(L-x)·x≤πL/3·[(L-x+x)/2]^2=πL^3/12,
当且仅当L-x=x即x=L/2时取“=”,
故当AB=L/2时,旋转体有最大体积为πL^3/12.