平面内有一个大圆和一个小圆,大圆半径是小圆半径的n倍,大圆固定在平面内,小圆保持与大圆内切,并沿着大圆的圆周从A点出发滚动一周回到A点,求小圆滚动的周数.N-1能否解释得清楚.

Question

平面内有一个大圆和一个小圆,大圆半径是小圆半径的n倍,大圆固定在平面内,小圆保持与大圆内切,并沿着大圆的圆周从A点出发滚动一周回到A点,求小圆滚动的周数.
N-1 能否解释得清楚.

Answer 1

从运动学的角度思考比较容易理解.
小圆的圆心绕大圆的圆心做匀速圆周运动,角速度为w1,线速度v1=w1·(n-1)r (r为小圆的半径)
小圆上的点绕小圆的圆心做匀速圆周运动,角速度为w2,线速度为v2 = w2·r
以初始时刻小圆和大圆的切点A为观察点,A相对于大圆圆心的线速度为0,(因为小圆在大圆中只有滚动,没有滑动）
根据运动学的速度关联的关系（这个物理课上应该学过吧）
v1 - v2 = 0 => w1·(n-1)r = w2·r => w1 :w2 = 1 :(n-1)
当小圆在大圆内完成一周滚动,经历时间T,则
小圆的圆心运动路程是 w1·(n-1)r·T = 2π(n-1)r
观察点A经过的路程就是 w2·r·T = (n-1)w1·rT = 2π(n-1)r = (n-1)·C （C为小圆的周长 = 2πr）
因此 小圆自转的滚动周数是(n-1)周.