请问,数学里,商集的定义是什么?例如"R/I"是什么意思?谢谢YLouis兄补充（1）：正在看“近世代数和拓扑”方面的数学教材.在“环”这一节里,提到了商群：“（定理中的一部分）.设R是环,而I是

Question

请问,数学里,商集的定义是什么?
例如"R/I"是什么意思?
谢谢YLouis兄
补充（1）：
正在看“近世代数和拓扑”方面的数学教材.
在“环”这一节里,提到了商群：
“（定理中的一部分）.设R是环,而I是R的理想,则加法商群R/I对于由(a+I)(b+I)=ab+I给出的乘法成为一个环.”（因为书中在集合部分曾提到过商集的概念,记法相同,所以我猜想商集的概念应该更具有一般性吧,可是书中的概念太抽象,难理解）
能不能结合这个所谓的“加法商群”进一步解释一下商群的概念呢?
（baidu这里要是能支持公式编辑就好了!）
Best wishes!
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补充（2）：
仔细看了一下,商群是不是这样的?
I是R的不变子群,I通过“陪集”的方式,鉴于I在R中的任两个陪集或者相等或者不相交,将R进行了划分,所得到的划分块的集合就是“商集R/I”.一个划分块就是一个陪集.
是不是这个意思啊?
thx

Answer 1

·[商集]
R是A上的[等价关系],由关于R的所有不同的[等价类]作为元素组成的集合称为A关于R的[商集],记作A/R
本质上说,集合A关于等价干系R的商集A/R是A上的一个[划分],等价类就是[块].即商集A/R中,全部元素相并就等于集合A,任意两个元素相交都为空集.
S={A1,A2,..An}
A1并A2并...并An=A 且 Ai交Aj={} (i>S是A的一个划分,Ai是A的子集,也是划分S的块.
[定理] A上的一个划分S能唯一确定一个等价关系R
这个划分S就是A关于R的商集A/R,S=A/R
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附：
·[二元关系]
设A,B是集合,R是笛卡儿乘积AxB的子集,则称R是A到B的一个二元关系,例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,b)}
·[自反的二元关系]
如果对于集合A的每一个元素a都有(a,a)属于二元关系R,则称R为自反的二元关系
·[对称的二元关系]
如果每当(a,b)属于R,就一定有(b,a)属于R,则称R是对称的二元关系
·[传递的二元关系]
如果每当有(a,b),(b,c)属于R,必有(a,c)属于R,则称传递的二元关系
·[等价关系]
R是A上的[二元关系],如果R是自反的、对称的、传递的二元关系,则称R为A上的[等价关系].
·[等价类]
设R是A的等价关系,a是A中的任意元素,由A中的所有与a相关的元素组成的集合,称为a关于R的等价类,记作[a]R
·例如：
A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；
R是A上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系],
若a,b是北京人,c是广东人,d,e,f南京人,
则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}
A中各元素关于R的等价类分别是：
[a]R=[b]R={a,b}
[c]R={c}
[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}
A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,{d}R}={{a,b},{c},{d,e,f}}