证明：若2的n次方再加1是质数,则n是2的方幂.

Question

证明：若2的n次方再加1是质数,则n是2的方幂.

Answer 1

若n不是2的方幂,则含有奇约数p
那么p|n,设n=pm
2^n+1可分解因式
2^n+1=(2^m+1)(2^[m(p-1)]-2^[m(p-2)]+2^[m(p-3)]-.+2^[m(p-p)])
2^m+1>2+1=3>1
2^[m(p-1)]-2^[m(p-2)]+2^[m(p-3)]-.+2^[m(p-p)]的最后一项为1,且前面每一项+的大于后面-的
所以也大于1
则2^n+1可分解成两个大于1的数的乘积
所以2^n+1不是质数,矛盾!
所以是2的方幂