（2014•宜宾二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求几何体BCDB1C1A1的体积．

Question

（2014•宜宾二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又AA₁⊥平面ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求几何体BCDB₁C₁A₁的体积．

Answer 1

（I）证明：∵BA=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BD在平面ABC内，
∴BD⊥A₁A，又AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又AE⊂平面ACC₁A₁，
∴AE⊥BD．
在正方形ACC₁A₁中，
∵D、E分别是AC、CC₁的中点，
∴△A₁AD≌△ECD．
∴A₁D⊥AE，
又AE⊥BD，
∴AE⊥平面A₁BD．
（II）根据（I），
设几何体BCDB₁C₁A₁的体积为V，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V₁，
三棱锥B-A₁AD的体积为V₂
则 V=V₁-V₂
=(4√(3))/(4)×2-(1)/(3)×(1)/(2)×1×2×√(3)
=2√(3)−(√(3))/(3)＝(5√(3))/(3)，
∴几何体BCDB₁C₁A₁的体积为(5√(3))/(3)．