离散数学中集合和关系我知道是什么,但是集合的平方和关系的平方是个什么意思?谁能将它解释的简单一点

Question

离散数学中集合和关系我知道是什么,但是集合的平方和关系的平方是个什么意思?谁能将它解释的简单一点

Answer 1

平方,也就是 2 次方,是乘方运算的一种特殊情况,也就是【2 个自身“相乘”】.即：乘方运算,是根据乘法运算定义的.对于“数”而言,平方是一种运算；对“集合”和“关系”而言,也是如此.它们的区别,就在于定义乘方所依据的“乘法”.
（1）集合的“乘法”：
涉及到【二元组】的概念（或称序偶）,即形如 这样的数对（当然,a、b可以是数,也可以是任何其他对象）.
对于两个集合A、B,分别从A、B中任选一个元素a,b,就可组成一个二元组；如果把A、B中的每一个元素,都任意进行配对,得到的所有二元组所构成的集合,就是A、B相乘的结果：A×B,叫做【笛卡尔积】.
有了乘法,自然就可定义乘方了：A² = A×A.
举个例子：数轴上的点,都对应一个实数；平面坐标系中的点,都对应一个坐标.其实,坐标就是一个二元组（x,y）：x来自横轴；y来自纵轴.而横轴和纵轴,都对应实数集R.所以,平面坐标系就可表示为：R×R,也就是 R².
（2）关系的“乘法”：
首先,关系本身也是集合.所以,任何关系都可以进行集合的乘法运算,也就是笛卡尔积,其规则就如（1）中所述.——如果你所说的关系的平方就是指这个,那后面的就不用看了.
不过,关系是一种特殊的集合,因此它引出了一种特殊的“乘法”运算——关系的复合.
与（1）类似,首先要定义“乘法”,也就是“关系的复合”；然后,平方的定义就很简单了：关系的平方,就是关系到自身的复合.
至于复合的定义,没必要在这里跟你说了,你可以自己看书去.只是提醒你一点：
鉴于关系本身也是集合,如果用同样的符号表示关系的乘方,那势必会产生歧义,所以数学上对关系特有的“乘法”和“乘方”——关系的复合——规定了新的符号：
R o S ：关系 R 和 S 的复合；
S o S = S ^ (2) ：关系 S 到自身的2次复合,即 S 的“平方”；（“指数”2 需要用括号括起来）
作为对比,S 作为集合进行的笛卡尔积表示为：
S × S = S ^ 2 = S².
（其实,对于关系的复合,我们已不再称其为关系的“乘法”或“乘方”,而是称其为“R与S的复合”或“S到自身的n次复合”.只是因为这两种运算的表示,和乘法与乘方很相似,所以才在一些非正式场合这样称呼.集合的笛卡尔积倒是可以称为“集合间的乘法”,而集合的“乘方”之说也是顺理成章的.所以,关系,只有在作为集合出现时,才有真正意义上的“平方”.）