求均匀半球壳的重心位置

Question

求均匀半球壳的重心位置

Answer 1

微元法：
沿着剖面方向切成一片片的!
距离球中心x处的圆环面积S=2π√(R^2-x^2)dx
面密度为a,从0到R积分：
∫2πa√(R^2-x^2)xdx=2πaR^3/3
总质量=a*2πR^2
重心距离球心的位置=(2πaR^3/3)/2πaR^2=R/3.
怪不得我总觉得有问题呢,原来上面的方法是错的!不能这么切,应该用立体角算!
沿着球心切成一个个小圆锥壳!
距离球心和顶点连线成夹角x处的圆环面积S=2πR^2sinxdx
面密度为a,从π/2到0积分!
∫Rcosx*2πR^2sinxdx=∫πR^3sin2xdx=πR^3
总质量=a*2πR^2
重心距离球心的位置=πR^3/2πaR^2=R/2.
嗯,这个应该才是正确的答案!