设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=π4，若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为．

Question

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=(π)/(4)，若AB=4，BC=√(2)，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

Answer 1

如图，设椭圆的标准方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=(π)/(4)，BC=√(2)，∴点C的坐标为C（-1，1），
因点C在椭圆上，∴((−1)2)/(4)+(12)/(b2)＝1，
∴b²=(4)/(3)，
∴c²=a²-b²=4-(4)/(3)=(8)/(3)，c=(2√(6))/(3)，
则Γ的两个焦点之间的距离为 (4√(6))/(3)．
故答案为：(4√(6))/(3)．