如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D。（1）求直线AB的解析式：（2）若S梯形OBCD=，

Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0， ）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D。

（1）求直线AB的解析式：
（2）若S _梯形OBCD = ，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）直线AB解析式为：y= x+ ； （2）设点C坐标为（x， x+ ），那么OD=x，CD= x+ ∴ 由题意 = 解得 （舍去） ∴C（2， ）。
（3）当∠OBP=Rt∠时，如图 ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3 ∴P 1 （3， ）。
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1 ∴ 。
当∠OPB=Rt∠时 ③过点P作OP⊥BC于点P（如图），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30° 过点P作PM⊥OA于点M 在Rt△PBO中，BP= OB= ，OP= BP= ∵在Rt△PＭO中，∠OPM=30° ∴OM= OP= ；PM= OM= ∴ 。
④若△POB∽△OBA（如图），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30° ∴PM= OM= ∴ 当∠OPB=Rt∠时，点P在x轴上，不符合要求 综合得，符合条件的点有四个，分别是： 。