2014年石家庄市高中一模数学文填空16题的解法已知O为锐角三角形ABC的外心,AB=6,AC=10,向量AO=xAB+yAC,且2x+10y=5,则边BC的长为----

Question

2014年石家庄市高中一模数学文填空16题的解法
已知O为锐角三角形ABC的外心,AB=6,AC=10,向量AO=xAB+yAC ,且2x+10y=5,则边BC的长为----

Answer 1

外心是三角形三条垂直平分线的交点,取AC中点为D.则OD⊥AC
∵向量AO＝向量AD＋向量DO, 　向量AO*AC=AD*AC+DO*AC=AD*AC+0=5*10=50
又∵向量AO=x向量AB+y向量AC, ∴AO*AC=x*60cos∠BAC+y*100=50
即6xcos∠BAC+10y=5
又 2x+10y=5 ∴6xcos∠BAC=2x
∴cos∠BAC=1/3
余弦定律：cos∠BAC=(AC^2+AB^2-BC^2)/2*AC*AB=1/3.
得：BC=4√6.