一道巧妙的数学题如何证明,根号2的根号2次方为无理数（解法越巧妙越好,且用高一之前所学知识）谢谢一楼只不过本人不是牛人,所以对这个理解起来有困难其实原题目是,写一个A^B为有理数

Question

一道巧妙的数学题
如何证明,根号2的根号2次方为无理数（解法越巧妙越好,且用高一之前所学知识）
谢谢一楼只不过本人不是牛人,所以对这个理解起来有困难
其实原题目是,写一个A^B为有理数但A,B均为有理数的式子,
所以(根号2^根号2)^根号2是一个符合的答案,但老师又问那
么如何证明根号2的根号2次方为无理数.

Answer 1

实际上,根号2的根号2次方为无理数很难证明,所以我们讨论一下.
设a=根号2.
如果根号2的根号2次方是有理数,那么令A=B=a即可.
如果根号2的根号2次方是无理数,那么令A=a的a次方,B=a即可,因为A的B次方为2.
(很old的一个例子)