能具体解释如何用压缩映射定理吗（泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得能具体解释如何用压缩映射定理吗（泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=0.5sin

Question

能具体解释如何用压缩映射定理吗 （泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得
能具体解释如何用压缩映射定理吗
（泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=0.5sinx(t)-a(t),其中a(t)是给定的[0,1]上连续

Answer 1

设ρ是C[0,1]上的距离ρ(x,y)=max|x(t)-y(t)| (t∈[0,1]),构造映射T,
(Tx)(t)=0.5sin[x(t)]-a(t)
因为sin[x(t)]和a(t)都是连续函数,故Tx∈C[0,1]
ρ(Tx,Ty)=0.5max|sin[x(t)]-sin[y(t)]|
=max|sin{[x(t)-y(t)]/2}cos{[x(t)+y(t)]/2}| (和差化积公式)
≤max|sin{[x(t)-y(t)]/2}
≤0.5max|x(t)-y(t)|
=0.5ρ(x,y)
所以T是压缩映射(0≤0.5