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已知F1、F2是椭圆的两个焦点,Q是椭圆上任意一点,从任一焦点作角F1QF2外角平分线的垂线,垂足为P,则P的轨迹是?为什么?
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已知F1、F2是椭圆的两个焦点,Q是椭圆上任意一点,从任一焦点作角F1QF2外角平分线的垂线,垂足为P,则P的轨迹是?为什么?
▼优质解答
答案和解析
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,焦点在x轴上.
不妨过F1作垂线,延长F1P,F2Q到R
∵PQ平分∠RQF1,QP⊥RF1
∴P是RF1中点,RQ=QF1
∵RF2=RQ+QF2=QF1+QF2=2a
∴R在以F2为圆心2a为半径的圆上,R:（x-c）²+y²=（2a）²
设P（x,y）则R(2x+c,2y) 代入得,P:x²+y²=a²
所以P的轨迹是以原点为圆心,椭圆半长轴为半径的圆
不妨过F1作垂线,延长F1P,F2Q到R
∵PQ平分∠RQF1,QP⊥RF1
∴P是RF1中点,RQ=QF1
∵RF2=RQ+QF2=QF1+QF2=2a
∴R在以F2为圆心2a为半径的圆上,R:（x-c）²+y²=（2a）²
设P（x,y）则R(2x+c,2y) 代入得,P:x²+y²=a²
所以P的轨迹是以原点为圆心,椭圆半长轴为半径的圆
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