点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点，AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2．①当CD=2时，求AE；②当CD=2（2-1）时，试证明四边形AEDF是菱形．

Question

点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点，AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2．
①当CD=√(2)时，求AE；
②当CD=2（√(2)-1）时，试证明四边形AEDF是菱形．

Answer 1

①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD=√(AC2+CD2)=√(4+2)=√(6)，
∵EF是AD的中垂线，
∴∠AOE=∠C=90°，AO=(1)/(2)AD=(√(6))/(2)，
∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE=(AO•AD)/(AC)=(3)/(2)．

②过D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（√(2)-1）=2-2√(2)+2=4-2√(2)，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（4-2√(2)）×(√(2))/(2)=2（√(2)-1）=CD，
则在直角△ADC和直角△AGD中：

CD＝DG

AD＝AD

∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴∠AFD=∠AED，
∴△AED和△AFD中，

∠FAD＝∠EAD

AD＝AD

∠ADF＝∠ADE

，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形．