过抛物线上任意一点作两条垂线交抛物线于两点,求证两点连线恒过定点

Question

过抛物线上任意一点作两条垂线交抛物线于两点,求证两点连线恒过定点

Answer 1

证明：
不妨设抛物线方程为：y²=2px.(p＞0)
可设三点：
A(2pa²,2pa),B(2pb²,2pb),C(2pc²,2pc).(a,b,c两两不等）
且AB⊥AC
【1】
由AB⊥AC.可得：
[1/(a+b)]×[1/(a+c)]=-1.
∴(b+a)(c+a)=-1.
即：bc+(b+c)a=-(1+a²)
【2】
易知,直线BC的方程为：
x+2pbc=(b+c)y
结合上面的结果：bc+(b+c)a=-(1+a²)
两边同乘以2p：2pbc+2pa(b+c)=-2p(1+a²)
∴(b+c)y-x+2pa(b+c)=-2p(1+a²)
[x-2p(1+a²)]-(b+c)(y+2pa)=0
显然,取x=2p(1+a²),y=-2pa.
上式恒成立.
∴直线BC恒过定点G(2p(1+a²),-2pa)