高等数学证明方程x~3-9x-1=0有三个实根.请详解,谢谢

Question

高等数学
证明方程x~3-9x-1=0有三个实根.
请详解,谢谢

Answer 1

对方程x^3-9x-1=0求导,得3*x^2-9=0,的一阶导数在x=√3或-√3,即：极值点在x=√3或-√3处取得,
又因为当x√3时,一阶导数>0;所以x=√3为极小值(先减后增),此时x^3-9x-1=-6√3-1<0,
当x0;当x>-√3时,一阶导数<0;所以x=-√3为极大值(先增后减),此时x^3-9x-1=6√3-1>0,
又有：x→+∞,x^3-9x-1→+∞；x→-∞,x^3-9x-1→-∞；
所以在区间[-∞,-√3]内有与x轴一交点(x→-∞,x^3-9x-1→-∞<0,x=-√3时x^3-9x-1=6√3-1>0)
在区间[-√3,√3]内有与x轴一交点(x=-√3时x^3-9x-1=6√3-1>0,x=√3时x^3-9x-1=6√3-1<0)
在区间[√3,+∞]内有与x轴一交点(x=√3时x^3-9x-1=6√3-1<0,x→+∞,x^3-9x-1→-∞>0)
总共三个交点,即：原方程有三个实根；命题得证.