如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN2=AM•AD；③MN=3-5；④S△EBC=25-1．其中正确结论的个数是（）A.1个B.

Question

如图，正五边形的边长为2，连结对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N．给出下列结论：①∠AME=108°；②AN²=AM•AD；③MN=3-

√(5)；④S_△EBC=2√(5)-1．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴(AE)/(AD)=(AM)/(AE)，
∴AE²=AM•AD；
∴AN²=AM•AD；故②正确；
∵AE²=AM•AD，
∴2²=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-√(5)；故③正确；
在正五边形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+√(5)，
∴BH=(1)/(2)BC=1，
∴EH=√((1+√(5))2-12)=√(5+2√(5))，
∴S_△EBC=(1)/(2)BC•EH=(1)/(2)×2×√(5+2√(5))=√(5+2√(5))，故④错误；
故选C．