在等边△ABC中，AB=2，点E是BC边上一点，∠DEF=60°，且∠DEF的两边分别与△ABC的边AB，AC交于点P，Q（点P不与点A，B重合）．（1）若点E为BC中点．①当点Q与点A重合，请在图1中补全图形；②在图

Question

在等边△ABC中，AB=2，点E是BC边上一点，∠DEF=60°，且∠DEF的两边分别与△ABC的边AB，AC交于点P，Q（点P不与点A，B重合）．
（1）若点E为BC中点．
①当点Q与点A重合，请在图1中补全图形；
②在图2中，将∠DEF绕着点E旋转，设BP的长为x，CQ的长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图3，当点P为AB的中点时，点M，N分别为BC，AC的中点，在EF上截取EP′=EP，连接NP′．请你判断线段NP′与ME的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）①补全图形，如图1所示，

②如图2，

∵等边△ABC，
∴∠B=∠C=∠DEF=60°，AB=BC=AC=2．
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°．
∴∠2=∠3．
∴△PBE∽△ECQ．
∴(BP)/(EC)=(BE)/(CQ)．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=1，
∵BP的长为x，CQ的长为y，
∴(x)/(1)=(1)/(y)．
即y=(1)/(x)．
自变量x的取值范围是：(1)/(2)≤x<2．
（2）如图3，

答：NP′=ME
证明：连接PM，PN，PP′．
∵P，M，N分别是AB，BC，AC的中点，
∴PN∥BC，PN=(1)/(2)BC，PM∥AC，PM=(1)/(2)AC．
∴四边形PMCN为平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠C=60°．
∴PM=PN，∠NPM=∠C=60°．
∵EP=EP′，∠PEP′=60°，
∴△PEP′是等边三角形．
∴∠EPP′=60°，PE=PP′．
∴∠EPP′=∠NPM．
∴∠EPM=∠NPP′．
∴△EPM≌△NPP′．
∴NP′=ME．