已知，直线y＝−23x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）请说明不

Question

已知，直线y＝−(2)/(3)x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S_△ABC；
（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

（1）令y＝−(2)/(3)x+2中x=0，得点B坐标为（0，2）；
令y=0，得点A坐标为（3，0）．
由勾股定理可得|AB| ＝√(13)，
所以S_△ABC=6.5；
（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=2为底，点P到y轴的距离1为高，
所以S_△BOP=1为常数；
（3）当点P在第四象限时，
因为S△ABO＝3， S△APO＝−(3)/(2)a，S_△BOP=1，
所以S△ABP＝S△ABO+S△APO−S△BOP＝S△ABC＝(13)/(2)，
即3-(3)/(2)a-1=(13)/(2)，解得a=-3，
当点P在第一象限时，
∵S_△ABO=3，S_△APO=(3)/(2)a，S_△BOP=1，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△AOP-S_△ABO=(13)/(2)，
即1+(3)/(2)a-3=(13)/(2)，
用类似的方法可解得a＝(17)/(3)．