已知抛物线G1：y=a（x-h）2+2的对称轴为x=-1，且经过原点．（1）求抛物线G1的表达式；（2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴

Question

已知抛物线G₁：y=a（x-h）²+2的对称轴为x=-1，且经过原点．

（1）求抛物线G₁的表达式；
（2）将抛物线G₁先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；
（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G₂（包含A，C两点），如果直线m：y=kx-2与图象G₂只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G₂的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．

Answer 1

（1）∵抛物线G₁：y=a（x-h）²+2的对称轴为x=-1，
∴y=a（x+1）²+2，
∵抛物线y=a（x+1）²+2经过原点，
∴a（0+1）²+2=0．
解得 a=-2，
∴抛物线G₁的表达式为y=-2（x+1）²+2=-2x²-4x；
（2）由题意得，抛物线G₂的表达式为y=2（x+1+1）²-2=2x²+8x+6．
∴当y=0时，x=-1或-3．
∴A（-3，0）；
（3）由题意得，直线m：y=kx-2交y轴于点D（0，-2），
由抛物线G₂的解析式y=2x²+8x+6，得到顶点E（-2，-2），
当直线y=kx-2过E（-2，-2）时与图象G₂只有一个公共点，此时t=-2，
当直线y=kx-2过A（-3，0）时
把x=-3代入y=kx-2，k=-(2)/(3)，
∴y=-(2)/(3)x-2，
把x=-2代入y=-(2)/(3)x-2，
∴y=-(2)/(3)，即t=-(2)/(3)，
∴结合图象可知t=-2或t>-(2)/(3)．