商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需

Question

商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米
∵(DN)/(AN)=(DC)/(AM)，∴AM=(3(x+2))/(x)，…（2分）
∴S_AMPN=AN•AM=(3(x+2)2)/(x)．
由S_AMPN＞32，得(3(x+2)2)/(x)＞32，又x＞0，
得3x²-20x+12＞0，解得：0＜x＜(2)/(3)或x＞6，
即DN长的取值范围是(0，(2)/(3))∪(6，+∞)．     …（6分）
（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y=(3(x+2)2)/(x)=(3x2+12x+12)/(x)=3x+(12)/(x)+12≥2√(3x•(12)/(x))+12=24…（10分）
当且仅当3x=(12)/(x)，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…（12分）