一道高一数学已知函数f（x）=2x/（x+1）（x＞0）（1）求证：函数f（x）在（0,+∞）上是单调增函数；（2）设g（x）＞log2f（x）,求g（x）的值域；（3）对于（2）中的函数g（x）,若关于x的方程|

Question

一道高一数学
已知函数f（x）=2x/（x+1）（x＞0）（1）求证：函数f（x）在（0,+∞）上是单调增函数；（2）设g（x）＞log2f（x）,求g（x）的值域；（3） 对于（2）中的函数g（x）,若关于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解,求m的取值范围．

Answer 1

1)证明：任取0＜x1＜x2,有
f(x1)-f(x2)=2x1/(x1+1)-2x2/(x2+1)=2(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
易知,x1-x2＜0,x1+1＞0,x2+1＞0
∴f(x1)-f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
易知,要求g(x)的值域,即对logf(x)求最大值
由f(x)=2x/(x+1) (x＞0),有
f(x)=[2(x+1)-2]/(x+1)=2-2/(x+1)
∵x＞0
∴x+1∈(1,+∞)
∴2/(x+1)∈(0,2)
∴f(x)∈(0,2)
易知,y=logx在(0,+∞)上单调递增
∴当f(x) →2( →：无限趋近于,后同.)时,logf(x)→1
即logf(x)＜1
∴g(x)∈(1,+∞)
设Σ(m)=[|g(x)|+2]m+|g(x)|²+3=0
由|g(x)|＞1,可知关于m的直线始终存在,并有
m=-[|g(x)|²+3]/[|g(x)|+2]=-{[|g(x)|+2][|g(x)|-2]+7}/[|g(x)|+2]=-|g(x)|+2-7/[|g(x)|+2]
即m=-{|g(x)|+2+7/[|g(x)|+2]}+4
由基本不等式
(推导~易知(a-b)²≥0,即a²+b²≥2ab,令√x=a,√y=b,x≥0,y≥0,则有x+y＞2√xy)
有
|g(x)|+2+7/[|g(x)|+2]≥2√{[|g(x)|+2]+7/[|g(x)|+2]}=2√7
∴m=-{|g(x)|+2+7/[|g(x)|+2]}+4≤4-2√7
∴m∈(-∞,4-2√7]
高二了,高一题目有些生疏.