如干个1与2排成一行：1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2……规则是：第一个数是1,第2个数是2,第三个数是1.一般地,先写一行1,在写第k个1与第k+1个1之间插入k个2（k=1,2,3……）试问（1）第2005个数是1还是2（2）

Question

如干个1与2排成一行：1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2……规则是：第一个数是1,第2个数是2,第三个数是1.一般地,先写一行1,在写第k个1与第k+1个1之间插入k个2（k=1,2,3……）
试问（1）第2005个数是1还是2
（2）前2005个数的和是多少

Answer 1

（1）可以发现,当出现第k+1个1的时候,前面出现的2的个数为
1,2,3,4,5,6,7,8,.,k
这是一个等差数列,求和＝k（1+k）/2,
那么第k+1个1出现时,总共出现的数字个数N＝（k+1）+k(k+1)/2=(k+1)(1+k/2)
令N=(k+1)(1+k/2)＝2005
（k+1）(2+k)-4010=0
解得 k＝61.8 (负根舍去)
就是说已经超过61个2.即第2005个数出现在第62个1与第63个1之间,且这个数应该是2.
（2）第62个1出现时,总共出现的数N＝62×31.5＝1953
此前出现2的个数＝61×31＝1891,出现1的个数是62个
第62个1到第2005个数之中,2的个数为2005－1953＝52
所以,这2005个数的和＝62＋2×（1891＋52）＝3948