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利用极限存在的准则证明数列√2,√2+√2,√2+√2+√2,…的极限存在
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利用极限存在的准则证明数列√2,√2+√2,√2+√2+√2,…的极限存在
▼优质解答
答案和解析
完整过程如下：
证明：设数列为{An},显然A（n+1）=√（2+An）＞0
①：有界.数学归纳法A1＜2,设Ak＜2,则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立
故0＜An＜2,有界；
②：单调.A（n+1）=√（2+An）＞√（An+An）=√2An＞An
故A（n+1）＞An,单调增；
由①②,根据单调有界数列极限判定准则,知该数列极限存在,设为A,等式两侧同取极限：
√（2+A）=A.解出x是2或者-1（＜0,舍去,此处用到了极限保号性）.
因此极限就是2.
证明极限存在才是这个题的关键.
证明：设数列为{An},显然A（n+1）=√（2+An）＞0
①：有界.数学归纳法A1＜2,设Ak＜2,则A（k+1）=√（2+Ak）＜√（2+2）=2成立
故0＜An＜2,有界；
②：单调.A（n+1）=√（2+An）＞√（An+An）=√2An＞An
故A（n+1）＞An,单调增；
由①②,根据单调有界数列极限判定准则,知该数列极限存在,设为A,等式两侧同取极限：
√（2+A）=A.解出x是2或者-1（＜0,舍去,此处用到了极限保号性）.
因此极限就是2.
证明极限存在才是这个题的关键.
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