请问如何理解极限啊?为什么我觉得无法回答芝诺悖论啊老师和书上都说极限是无限接近但是却永远无法到达的点.假如数列Sn=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+.+(1/2)^n,大家都知道Sn=1(等比数列求和公式),但是它

Question

请问如何理解极限啊?为什么我觉得无法回答芝诺悖论啊
老师和书上都说极限是无限接近但是却永远无法到达的点.假如数列Sn= 1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+.+(1/2)^n,大家都知道Sn=1(等比数列求和公式),但是它的极限也是1(到底极限是不是等于啊).
现实生活中,假如有一个一米长的跑道 ,一个人先跑了1/2米,然后又跑了剩下的1/2,即(1/2)^2米,然后又跑了再剩下的1/2米,即(1/2)^3,然后极限是可以无限接近却无法到达的,也就是说一个人会无限接近终点,却无法到达终点(芝诺悖论),这显然是不对的,可是要怎么解释呢?
我都卡在这很长时间了,而且1+无穷小量和1比哪个大啊,如果1+无穷小量=1,那不就说明1+无穷小量=1+0.无穷小量=0?

Answer 1

为什么说“这显然是不对的”?数学上看这是完全合理的呀,任何N,(1/2)^N都是严格大于0的数.
看起来是“悖论”只是因为人没法分辨(1/2)^10米的距离.
无穷小量的概念是相对的.比如说a(n)是一个无穷小量是指当n趋于无穷,a趋于0.
对比于1,a(n)就是一个无穷小量.
严格说,1+无穷小量>1.
有时候大家说1+无穷小量=0,其实是省略了“n->无穷"的条件.
从极限的环境下分析问题,实际上是为了简化问题：在极限下无穷小的量就可以忽略掉,虽然在非极限的环境下不可以.