如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=45，求⊙O的直径BC．

Question

如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．

（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）如果CF=1，CP=2，sinA=(4)/(5)，求⊙O的直径BC．

Answer 1

（1）证明：连接OD．                                 （1分）
∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．
在Rt△ADB中，
E为AB中点，∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．                                   （2分）
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切线．                                  （5分）
（2）∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．
∵∠PDC=90°-∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．                                   （7分）
∴(PC)/(CD)=(CF)/(PC)，
则PC²=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．                                           （8分）
可知sin∠DBC=sinA=(4)/(5)，
∴(DC)/(BC)=(4)/(5)，即(4)/(BC)=(4)/(5)，
∴直径BC=5．                                      （10分）