在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=73，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕

Question

在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．
（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7√(3)，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP；
（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．

Answer 1

（1） 如图1中，

∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=7√(3)，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，设BD=a，则AB=2a，
∵AB²=BD²+AD²，
∴（2a）²=a²+（7√(3)）²，
∴a=7，
∴AB=AC=14，
∵AM=MB，PB=PC，
∴PM=(1)/(2)AC=7．

（2）证明：如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．

∵AD=AE，
∴∠1=∠2，
∵∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∵BD=EC，
∴△EQC≌△DPB，
∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，
∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=PC，
∴PB=PC．

（3）结论：2AD²=FB²+CF²．
理由：如图3中，连接AF交BD于N．

∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴∠DBA=∠DAB=45°，AB=√(2)AD，
∵∠AND=∠BNF，∠ADN=∠BFN=90°，
∴△AND∽△BNF，
∴(AN)/(BN)=(DN)/(NF)，
∴(AN)/(DN)=(BN)/(NF)，∵∠ANB=∠DNF，
∴△ANB∽△DNF，
∴∠DFN=∠ABD=45°，
∵FE⊥AC，AE=EC，
∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，
∴∠AFC=∠AFB=90°，
∴AB²=BF²+AF²，
∴2AD²=BF²+CF²．