如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是边AB上的一点AE⊥AB且AE=BD,DE与AC相交于点F.若AC=1,且当AEF是等腰三角形时,求AE的长度

Question

如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是边AB上的一点 AE⊥AB且AE=BD,DE与AC相交于点F.
若AC=1,且当AEF是等腰三角形时,求AE的长度

Answer 1

AC=BC=1,AB=根号下2,


（1） 当AF=EF时,如图
       
     
       ∠EAF=∠AEF=45度, ∠AFE=90度,
       ∠EAD=90度,∠ADE=45度,AE=AD=BD,AE=（1/2）AB=（根号下2）/2  .
（2）当AE=AF时,如图
        
         
       过点D作DG平行于BC交AC于,过点F作FH⊥AB于点H,∠FAH=45度,FH=AH,
       ∠EAF=45度,∠AED=（180度-45度）/2=67.5度, 
       ∠ADF=180度-90度-67.5度=22.5度,
       ∠ADG=∠ABC=45度, ∠ADF=(1/2)∠ADG,DF是∠ADG的角平分线,
       GF=FH=AH（角平分线上一点到角两边距离相等,等腰三角形腰相等）,
       令AE=x, GC/AC=BD/AB,GC= x / (根号下2）,AF=AE=x, 
       GF=AC-GC-AF=1-x / (根号下2）-x,  
       在Rt△AHF中,AF^2=AH^2+FH^2=2GF^2,
        即：
                  ,解得   x=1   或     x =（根号下2）-1  .
（3）当AE=EF时,如图
       


        ∠EAF=∠EFA=45度,∠AEF=90度,DE⊥AE,AE⊥AB,DE//AB,这与“D 是AB上一 
        点”矛盾,所以“△AEF不可能是以AE、EF为腰的等腰三角形“.
 
   综合（1）、（2）和（3）,AE的长度为  “（根2）/2 “     或  ”1 “    或  ”（ 根2）-1”.