如图在△ABC中∠ABC=90°BC=1AB=√3P为△ABC内一点∠BPC=90°（1）若PB=1/2求PA（2）若∠APB=150°求tan∠PBA

Question

如图在△ABC中 ∠ABC=90° BC=1 AB=√3 P为△ABC内一点 ∠BPC=90°
（1）若PB=1/2求PA
（2）若∠APB=150°求tan∠PBA

Answer 1

(1)PB=1/2=BC/2,∠BPC=90°,∠CBP=60 ,∠PBA=30.过点P作PD垂直于AB,垂足为D.
PD=PB/2=1/4,BD=√3PD=√3/4,AD=AB-BD=3√3/4
AP=√PD^2+AD^2 =√7/2
(2)过点C作AP的垂线交AP的延长线于点E.延长BP交AC于点F.
∠PAC=30°-∠PAB=∠APF-∠PAB=∠ABP=∠PCB
又 ∠AEC=∠CPB=90°,所以三角形AEC相似于三角形CPB.
CE/PB=AC/BC=2 ,PB=CE/2.
在直角三角形CEP中,∠CPE=60°,所以PC=2CE/√3
tan∠PBA=tan∠PCB=PB/PC=√3/4