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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,点E是PD的中点.(1)求证:PB∥平面ACE;(2)若四面体E-ACD的体积为23,求AB的长.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,点E是PD的中点.

(1)求证:PB∥平面ACE;
(2)若四面体E-ACD的体积为
,求AB的长.

(1)求证:PB∥平面ACE;
(2)若四面体E-ACD的体积为
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO,
∵ABCD是正方形
∴点O是BD的中点
又∵点E是PD的中点
∴EO是△DPB的中位线.
∴PB∥EO.
又∵EO⊂平面ACE,PB⊄平面ACE
∴PB∥平面ACE
(2)取AD的中点H,连接EH
∵点E是PD的中点
∴EH∥PA
又∵PA⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD.
设AB=x,则PA=AD=CD=x,且EH=
PA=
x.
所以VE−ACD=
S△ACD×EH=
×
×AD×CD×EH=
•x•x•
x=
x3=
解得x=2
故AB的长为2
∵ABCD是正方形
∴点O是BD的中点
又∵点E是PD的中点
∴EO是△DPB的中位线.
∴PB∥EO.
又∵EO⊂平面ACE,PB⊄平面ACE
∴PB∥平面ACE
(2)取AD的中点H,连接EH
∵点E是PD的中点
∴EH∥PA
又∵PA⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD.
设AB=x,则PA=AD=CD=x,且EH=
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所以VE−ACD=
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解得x=2
故AB的长为2
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