如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）若四面体E-ACD的体积为23，求AB的长．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）若四面体E-ACD的体积为(2)/(3)，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO，
∵ABCD是正方形
∴点O是BD的中点
又∵点E是PD的中点
∴EO是△DPB的中位线．
∴PB∥EO．
又∵EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE
∴PB∥平面ACE
（2）取AD的中点H，连接EH
∵点E是PD的中点
∴EH∥PA
又∵PA⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD．
设AB=x，则PA=AD=CD=x，且EH＝(1)/(2)PA＝(1)/(2)x．
所以VE−ACD＝(1)/(3)S△ACD×EH=(1)/(3)×(1)/(2)×AD×CD×EH=(1)/(6)•x•x•(1)/(2)x＝(1)/(12)x3＝(2)/(3)
解得x=2
故AB的长为2