如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．

Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求证：平面ACE⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

证明：（1）设AC和BD交于点O，连EO，
因为E，O分别是DD₁，BD的中点，
所以EO∥BD₁，
因为EO⊂平面PAC，BD⊄平面PAC，
所以直线BD₁∥平面ACE．
（2）由题意可得：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD，
所以底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
又因为DD₁⊥面ABCD，
所以DD₁⊥AC．
∵BD⊂平面BDD₁B₁，D₁D⊂平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，
∴AC⊥面BDD₁B₁．
∵AC⊂平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BDD₁B₁ ．