如图1，AB是O的直径，F为O外一点，C为O上一点，FC交O于点E，且∠FAE=∠ECA．（1）求证：AF是0的切线；（2）如图2，作CG⊥AB，交O于点G，GC、AE的延长线交连接GE交AB于点H，如果∠ACE=45°．求

Question

如图1，AB是 O的直径，F为 O外一点，C为 O上一点，FC交 O于点E，且∠FAE=∠ECA．
（1）求证：AF是 0的切线；
（2）如图2，作CG⊥AB，交 O于点G，GC、AE的延长线交连接GE交AB于点H，如果∠ACE=45°．求证：AH=AF．

Answer 1

证明：（1）连结BE，如图1，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠B+∠BAE=90°，
∵∠B=∠ACE，
∠FAE=∠ECA，
∴∠FAE+∠BAE=90°，即∠BAF=90°，
∴BA⊥AF，
∴AF是 0的切线；
（2）如图2，连结AG，
∵CG⊥AB，
∴弧AC=∠AG，
∴∠ACG=∠AGC，
∵∠AEF=∠AGC，
∴∠ACG=∠AEF，
∵∠ACG=∠AEG，
∴∠AEF=∠AEG，
∵∠ACE=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°，
而AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=45°，
∴∠EAF=45°，
在△AEH和△AEF中，

HAE=∠FAE

AE=AE

∠AEH=∠AEF

，
∴△AEH≌△AEF，
∴AH=AF．